Quaternionen.
Quaternionen zijn vierdimensionaal. Ze bevatten een reele dimensie en drie imaginaire dimensies. Er is vermenigvuldiging gedefinieerd, maar de betekenis hiervan vereist nog onderzoek. Het eerst opvallende aan de vermenigvulding is dat ab<>ba kan zijn, wat niet-commutatief heet. Algebraisch is er sprake van een bijna-lichaam, het wordt wel scheef lichaam genoemd. Zo zijn de complexe getallen een gewoon lichaam met de eigenschap dat ordening niet volledig is. Van twee willekeurige complexe getallen is niet altijd aantoonbaar welke de grootste is. Reele getallen zijn wel volledig geordend.
In Algebra as a science of pure time schrijft Hamilton dat het reele deel van een quaternion gezien kan worden als tijd en de drie imaginaire richtingen als lengte.
Dit staat lijnrecht tegenover Minkowski die tijd als een imaginair toevoegt aan drie reele lengtes. De verklaring hiervoor is dat rond 1900 de vectorrekening is ontstaan uit quaternionrekening door het reele deel weg te laten. De noodzaak van drie dimensies viel in vectorrekening weg en de lineaire algebra was ontstaan. Het woord lineair is gekomen om de vermenigvuldiging aan banden te leggen met: vectoren kun je alleen met reele getallen vermenigvuldigen en daarmee groter en kleiner maken. De drie onderling loodrechte richtingen van de vectorrekening haalt de logica uit de quaternionen en de twee vectorproducten: inprodukt en uitprodukt genoemd kregen meetkundige en natuurkundige betekenis. Zo moet Minkowski gedacht hebben loodrecht op al die meetkunde staat tijd en die is dus imaginair. Naar mijn idee een vergissing, want tijd is geordend net als reele getallen en punten in de driedimensionale meetkunde zijn niet geordend net als de complexe getallen.
Zo kan aan een (ieder) punt in de ruimtetijd een quaternion toegevoegd worden. In de meetkunde worden punten met hoofdletters geschreven. Het tijdsdeel van zo een puntstip P vraagt ergens om een start, waarover men het nog niet allemaal eens is, maar relativiteit van de tijd zal zo duidelijk worden na bestudering van het verschil P1-P2, het verschil van twee van die ruimte-tijdstippen.
Het heeft:
- tijdsverschil
- een lijnstuk met driedimensionale richting
- een afstand (=lengte van het lijnstuk)
- een gemiddelde snelheid
In de sterrenkunde is lichtafstand een gebruikelijke terminologie geworden die veel mensen kennen. De zon staat op 500 lichtseconde en Proxima centauri staat op 4,2 lichtjaar bijvoorbeeld. Om nu exacte wiskunde uit te voeren met betrekking tot tijd ben ik op het quuaternion |Q|=|P1-P2|=t+iR/c gekomen, waarbij t dus een tijdsverschil is en c de lichtsnelheid. De i geeft aan dat de lichtweg iR/c loodrecht staat op de richting van de tijd.
De preciese richting in de ruimte is geabstraheerd tot afstand. Merk op dat de dimensie van iR/c ook tijd is! Merk op dat 500 lichtseconde als afstand van de zon (tot de aarde) dus R/c is en dan is R=1,5 miljoen km.
Deze normering van Q als verschilquaternion van twee ruimtetijdstippen heb ik complexe afstand genoemd. In het bovennoemde voorbeeld, waarbij de gemiddelde snelheid c is zou je het complexe lichtafstand moeten noemen. Karakteristiek aan de lichtafstand is dus dat ze dimensie tijd heeft.
De dimensie van c is snelheid en 1 en i zijn dimensieloos in de klassieke wiskunde. Puriteins vindt mijn vroegere Pascaldocent Professor ten Dam ook dat je 1 en i hier als eenheidsvectoren een ander symbool moet geven. Maar is dit niet gewoon nog iets waar je je aan moet wennen als je met quaternionen bezighoudt? Ok de nietcommutativiteit heeft al zoveel ongeloof gegeven dat Hamilton zoveel parten speelde rond 1850. Hoe werkt het Buckingham pi theorema voor complexe getallen en voor quaternionen?
We weten dat 1 + i met dimensie tijd een lichtseconde betekent in de meest logische zin van het getal.
Tijdverschil is 1 seconde en daarop loodrechte afstand R = 300.000 km, dus R/c=1. We praten er al mee door te zeggen Zon dit en Proxima centauri dat…
De quaternionen zijn in mechanica en electriciteitsleer ondanks alles flink ingeburgerd. Zo wordt er ook in de quantummechanica gesproken over impulsen met een reeel deel en een imaginair deel.
De vraag van 17 mei 2012 over multidimensionaliteit van quaternionen daar 1+ict genoemd moet ontkennend beantwoord worden. De vraag was of in toegepaste quaternionen de dimensieverhouding tussen 1 en i een snelheid is. Door bestudering van de impedantie:
Z= R + i Omega L + 1/(i Omega C)
Volgde het antwoord: Dimensie van Omega L is Henry/ seconde en de dimensie van (Omega C)^-1 is seconde/ Farad, beiden zijn Ohm!
De formule om spanning (V) te delen door stroom (j) levert weerstand (R), impedantie van een spoel (L) en de capaciteit van een condensator (C)
voor een wisselspanning met golflengte Omega = 2 pi * f, waarbij f de frequentie met dimensie 1/seconde.
Dat betekende een fundamentele
stap in het begrijpelijk maken van:
Haarlem 19 mei 2012.